Confronti tra medie

t test, analisi della varianza e il problema dei confronti multipli

La pressione arteriosa si riduce di più con il farmaco A o con il farmaco B? Il punteggio di qualità della vita è diverso tra tre programmi di riabilitazione? Confrontare medie tra gruppi è una delle analisi più frequenti. La domanda sembra semplice, ma la scelta del test dipende dalla struttura dei dati.

Tempi medi di refertazione di cinque laboratori

L'idea, in parole semplici

Due gruppi di pazienti quasi mai hanno esattamente la stessa media, anche se il trattamento non fa nulla: i pazienti sono diversi tra loro e il caso produce sempre qualche differenza. La domanda vera è se la differenza osservata è grande rispetto alla variabilità dei dati. Una differenza di 5 mmHg è notevole se i pazienti di ciascun gruppo sono tutti simili tra loro, è quasi nulla se all'interno dei gruppi le pressioni variano di 40 mmHg. I test sulle medie fanno esattamente questo confronto: segnale contro rumore.

Due gruppi

t test per campioni indipendenti: due gruppi di soggetti diversi. La versione di Welch non richiede che le varianze siano uguali ed è oggi la scelta predefinita consigliata da molti.
t test per dati appaiati: le stesse persone misurate due volte, oppure coppie abbinate. Ignorare l'appaiamento significa buttare via informazione e perdere potenza.

Più di due gruppi

L'analisi della varianza (ANOVA) verifica se almeno una media differisce dalle altre. Se il risultato è significativo, i confronti successivi tra coppie di gruppi (post hoc) dicono quali gruppi differiscono. Per misure ripetute nel tempo sugli stessi soggetti si usano l'ANOVA per misure ripetute o, meglio ancora, i modelli a effetti misti, che gestiscono anche i dati mancanti.

Il problema dei confronti multipli

Ogni test ha una piccola probabilità di dare un falso positivo. Con molti confronti la probabilità che almeno uno lo sia cresce rapidamente. Correzioni come quelle di Bonferroni, di Holm o di Tukey tengono sotto controllo questo rischio. La scelta va fatta prima dell'analisi e dichiarata.

Gli errori più comuni

Fare molti t test tra coppie invece di un'analisi unica. Confrontare solo i valori finali quando i gruppi partivano da livelli diversi: in uno studio con misura basale, un modello che aggiusta per il valore iniziale (ANCOVA) è di solito più corretto e più potente del semplice confronto delle differenze. Dimenticare che la differenza tra medie, con il suo intervallo di confidenza, conta più del valore p.

Un esempio in sanità

Un'azienda confronta i tempi medi di refertazione di cinque laboratori. Invece di dieci t test tra coppie, un'unica analisi con confronti post hoc corretti dice quali laboratori differiscono davvero, senza moltiplicare i falsi allarmi.

Per chi vuole andare a fondo

Le statistiche test

t di Welch

Per due gruppi indipendenti con medie $\bar x_1, \bar x_2$, varianze $s_1^2, s_2^2$ e numerosità $n_1, n_2$:

$$t = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}, \qquad \nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

I gradi di libertà $\nu$ (formula di Welch-Satterthwaite) sono in genere non interi. Il t test "classico" usa invece una varianza comune ed è corretto solo se le varianze dei due gruppi sono simili.

t per dati appaiati

Si lavora sulle differenze $d_i$ di ogni coppia: $t = \bar d / (s_d/\sqrt{n})$ con $n-1$ gradi di libertà. L'appaiamento elimina dalla varianza la parte dovuta alle differenze tra soggetti.

ANOVA a una via

Con $k$ gruppi e $N$ osservazioni, la variabilità totale si scompone in una parte tra i gruppi e una entro i gruppi:

$$\underbrace{\sum_{j}\sum_{i}(x_{ij} - \bar x)^2}_{SS_{tot}} = \underbrace{\sum_{j} n_j(\bar x_j - \bar x)^2}_{SS_{tra}} + \underbrace{\sum_{j}\sum_{i}(x_{ij} - \bar x_j)^2}_{SS_{entro}}$$ $$F = \frac{SS_{tra}/(k-1)}{SS_{entro}/(N-k)}$$

Sotto l'ipotesi di medie uguali $F$ segue una distribuzione $F$ con $(k-1, N-k)$ gradi di libertà. Il test di Tukey (HSD) confronta poi tutte le coppie controllando l'errore complessivo.

ANCOVA

Con una misura basale $x$ e una finale $y$, il modello

$$y_i = \beta_0 + \beta_1\,\text{gruppo}_i + \beta_2\, x_i + \varepsilon_i$$

stima l'effetto del gruppo $\beta_1$ a parità di valore iniziale. Negli studi randomizzati è di solito più efficiente sia del confronto dei valori finali sia di quello delle differenze finale − basale.

In R

t test, ANOVA e ANCOVA in R

set.seed(99)
lab <- factor(rep(paste("Lab", 1:5), each = 40))
ore <- rnorm(200, mean = c(22, 23.5, 21, 28, 22.5)[lab], sd = 4.5)

t.test(ore[lab == "Lab 1"], ore[lab == "Lab 4"])   # Welch di default

fit <- aov(ore ~ lab)
summary(fit)
TukeyHSD(fit)$lab[c("Lab 4-Lab 1", "Lab 2-Lab 1"), ]

# ANCOVA: confronto aggiustato per il valore basale
set.seed(7)
gruppo <- factor(rep(c("A", "B"), each = 50))
basale <- rnorm(100, 150, 15)
finale <- basale - 8 - 5 * (gruppo == "B") + rnorm(100, 0, 8)
coef(summary(lm(finale ~ gruppo + basale)))

Come leggere l'output

Tra il laboratorio 1 (media 21,3 ore) e il laboratorio 4 (29,0 ore) il t di Welch vale −7,8 con 77,7 gradi di libertà: la differenza è di 7,7 ore, con intervallo di confidenza da 5,7 a 9,7. In R t.test() usa Welch di default; per la versione classica serve var.equal = TRUE.

L'ANOVA sui cinque laboratori dà F = 24,0 con 4 e 195 gradi di libertà (p < 0,001). Il test di Tukey conferma la differenza tra i laboratori 4 e 1 (7,7 ore, IC 95%: 5,0–10,4) ma non tra i laboratori 2 e 1 (0,9 ore, IC da −1,8 a 3,6).

Nell'ANCOVA il gruppo B ha valori finali inferiori di 5,9 unità rispetto al gruppo A a parità di valore basale (p < 0,001), in linea con l'effetto di 5 unità usato per simulare i dati.

Vedi anche

Verifica di ipotesi · Test non parametrici · Regressione lineare

Devi confrontare gruppi e vuoi impostare bene l’analisi?

MISSION

Motivati dalla curiosità e dalla passione, il nostro team si impegna ad offrire soluzioni innovative per affrontare sfide e problemi complessi provenienti da diverse aree e settori. Con la nostra esperienza e competenza siamo in grado di rispondere alle esigenze uniche di ogni progetto.