Test non parametrici

Quando i dati non si comportano come vorrebbero i test classici

I test classici, come il t di Student, presuppongono dati distribuiti in modo approssimativamente normale, o campioni abbastanza grandi da rendere l'ipotesi poco rilevante. Con campioni piccoli, dati molto asimmetrici o variabili ordinali, i test non parametrici offrono un'alternativa.

Box plot della degenza in due modelli organizzativi

L'idea, in parole semplici

Invece di lavorare sui valori, questi test lavorano sui ranghi, cioè sulla posizione di ciascun valore in una classifica. Si mettono insieme i pazienti dei due gruppi, si ordinano dalla degenza più breve alla più lunga e si guarda come si distribuiscono i due gruppi nella classifica. Se un gruppo occupa quasi sempre le posizioni alte, c'è una differenza. Un ricovero di 200 giorni conta come "il più lungo", né più né meno di uno di 40: per questo i valori estremi non stravolgono il risultato.

I test più usati

Mann-Whitney (o Wilcoxon per campioni indipendenti): confronta due gruppi indipendenti. È l'alternativa al t test per campioni indipendenti.
Wilcoxon per dati appaiati: confronta due misure sugli stessi soggetti, per esempio il dolore prima e dopo un trattamento.
Kruskal-Wallis: confronta tre o più gruppi indipendenti. È l'alternativa all'analisi della varianza a una via.
Friedman: confronta tre o più misure ripetute sugli stessi soggetti.

Vantaggi e limiti

Sono robusti ai valori estremi e adatti ai dati ordinali, come i punteggi di scale cliniche. In compenso, quando i presupposti dei test parametrici sono rispettati, hanno un po' meno potenza. Inoltre si prestano poco alla stima di un effetto e all'aggiustamento per più variabili.

Gli errori più comuni

Descrivere il Mann-Whitney come un "confronto tra mediane": lo è solo se le due distribuzioni hanno la stessa forma. In generale verifica se i valori di un gruppo tendono a essere più alti di quelli dell'altro. Un altro errore frequente è scegliere il test dopo aver visto quale dei due dà il valore p più piccolo. La scelta va fatta in base alla natura dei dati e dichiarata prima dell'analisi.

Un esempio in sanità

Per confrontare la durata della degenza tra due modelli organizzativi, la media è influenzata da pochi ricoveri molto lunghi. Il test di Mann-Whitney, accompagnato da mediane e quartili, descrive meglio la differenza. Se però serve aggiustare per età e complessità dei pazienti, bisogna passare a un modello di regressione adatto a dati asimmetrici.

Per chi vuole andare a fondo

Le statistiche basate sui ranghi

Mann-Whitney

Si uniscono i due campioni ($n_1$ e $n_2$ osservazioni), si assegnano i ranghi da 1 a $n_1 + n_2$ (in caso di parità, il rango medio) e si calcola la somma $R_1$ dei ranghi del primo gruppo:

$$U_1 = R_1 - \frac{n_1(n_1+1)}{2}$$

$U_1$ conta le coppie in cui un valore del gruppo 1 supera uno del gruppo 2. Diviso per $n_1 n_2$ stima $P(X_1 > X_2)$, la probabilità che un paziente preso a caso dal primo gruppo abbia un valore più alto di uno preso dal secondo: è la misura di effetto più naturale per questo test. Per campioni non piccoli si usa l'approssimazione normale

$$z = \frac{U_1 - n_1 n_2/2}{\sqrt{n_1 n_2 (n_1 + n_2 + 1)/12}}$$

con una correzione della varianza in presenza di molti valori uguali, frequenti quando i dati sono arrotondati ai giorni.

Wilcoxon per dati appaiati

Si calcolano le differenze $d_i$ per ogni coppia, si ordinano i loro valori assoluti e si sommano i ranghi delle differenze positive, $W^+$. Sotto l'ipotesi nulla $E(W^+) = n(n+1)/4$. Il test presuppone che la distribuzione delle differenze sia simmetrica.

Kruskal-Wallis

Con $k$ gruppi, $N$ osservazioni totali e $R_j$ somma dei ranghi del gruppo $j$:

$$H = \frac{12}{N(N+1)}\sum_{j=1}^{k}\frac{R_j^2}{n_j} - 3(N+1)$$

che sotto l'ipotesi nulla segue approssimativamente una $\chi^2$ con $k-1$ gradi di libertà.

Stima dell'effetto: Hodges-Lehmann

Lo stimatore di Hodges-Lehmann della differenza tra due gruppi è la mediana di tutte le $n_1 n_2$ differenze $x_{1i} - x_{2j}$. Accompagnato dal suo intervallo di confidenza, trasforma il test in una stima interpretabile.

In R

I test non parametrici in R

set.seed(88)
attuale <- pmax(1, round(exp(rnorm(150, 1.90, 0.55))))
nuovo   <- pmax(1, round(exp(rnorm(150, 1.65, 0.55))))

c(attuale = median(attuale), nuovo = median(nuovo))
wilcox.test(attuale, nuovo, conf.int = TRUE, exact = FALSE)

# Tre o più gruppi indipendenti
terzo <- pmax(1, round(exp(rnorm(150, 1.80, 0.55))))
kruskal.test(list(attuale, nuovo, terzo))

Come leggere l'output

Le degenze mediane sono 7 giorni con il modello attuale e 6 con il nuovo. wilcox.test() esegue il Mann-Whitney: W = 13.456, p = 0,003. Con conf.int = TRUE restituisce anche lo stimatore di Hodges-Lehmann, qui 1 giorno, con intervallo di confidenza da 0 a 2 giorni: i dati sono arrotondati ai giorni e la stima risente di questa granularità.

Il test di Kruskal-Wallis sui tre gruppi dà $\chi^2 = 13{,}8$ con 2 gradi di libertà (p < 0,001). Per sapere quali gruppi differiscono servono confronti a coppie corretti, per esempio con pairwise.wilcox.test(..., p.adjust.method = "holm").

Vedi anche

Confronti tra medie · Indici di simmetria e curtosi · Scale di misura

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