Scale di misura

Trasformazioni ammissibili

Stevens definì ogni scala attraverso le trasformazioni che ne preservano il significato. Una statistica è "ammissibile" per una scala se la sua conclusione non cambia applicando una di queste trasformazioni.

• Nominale: qualsiasi funzione biunivoca \(y = f(x)\). Si può rinominare le categorie a piacere: resta valida la moda, non la media.
• Ordinale: qualsiasi funzione strettamente crescente. Mediana e percentili si trasformano di conseguenza (\(\text{Me}(f(X)) = f(\text{Me}(X))\)); la media no.
• A intervalli: trasformazioni lineari \(y = a + bx\) con \(b > 0\), come il passaggio da Celsius a Fahrenheit, \(F = 32 + 1{,}8\,C\). Si conservano i rapporti tra differenze, non tra valori.
• A rapporti: solo cambi di unità \(y = bx\) con \(b > 0\), come da chilogrammi a grammi. Si conservano anche i rapporti tra valori e ha senso il coefficiente di variazione \(CV = s/\bar x\).

Perché la media di una scala ordinale è fragile

Due gruppi rispondono su una scala a 5 livelli. Se codifichiamo le risposte come 1, 2, 3, 4, 5 la media del gruppo A può risultare più alta; se le codifichiamo come 1, 2, 3, 4, 10, che rispetta lo stesso ordine, il confronto può invertirsi. Le conclusioni basate sulla mediana, invece, non cambiano. È il motivo per cui con dati ordinali si preferiscono mediane, percentili e test basati sui ranghi.

Il costo della dicotomizzazione

Dividere una variabile continua in due gruppi alla mediana riduce l'efficienza statistica in modo sostanziale: nel caso di una variabile normale la perdita è paragonabile a buttare via circa un terzo dei dati (Altman e Royston, 2006). Se servono categorie per la comunicazione, conviene analizzare la variabile continua e categorizzare solo per presentare i risultati.

Scale di misura in R

# Variabile ordinale: codice di priorità al triage (1 = più urgente)
triage <- factor(c(3, 4, 2, 4, 5, 3, 1, 4, 3, 2),
                 levels = 1:5, ordered = TRUE)
table(triage)
median(as.integer(triage))   # la mediana ha senso
triage < 3                   # i confronti d'ordine sono ammessi

# Variabile nominale: i codici interni sono arbitrari
reparto <- factor(c("Medicina", "Chirurgia", "Medicina", "Ortopedia"))
as.integer(reparto)          # 2 1 2 3: la loro media non significa nulla

# Categorizzare una variabile continua fa perdere informazione
set.seed(1)
eta <- round(rnorm(10, 70, 10))
cut(eta, breaks = c(-Inf, 65, Inf), labels = c("<=65", ">65"))

Come leggere l'output

In R le variabili ordinali si dichiarano con factor(..., ordered = TRUE): così i confronti come triage < 3 sono permessi e rispettano l'ordine dei livelli. La mediana del triage è 3.

Per un factor nominale, as.integer() restituisce i codici interni assegnati in ordine alfabetico (Chirurgia = 1, Medicina = 2, Ortopedia = 3): sono etichette e non hanno significato numerico. Con cut() le età 64 e 72 finiscono in classi diverse, mentre 72 e 86 finiscono nella stessa: la categorizzazione cancella differenze che possono contare.