Indici di posizione e dispersione

Un numero da solo non basta: serve sapere quanto i dati sono vari

Due ambulatori hanno lo stesso tempo di attesa medio: 30 giorni. Nel primo quasi tutti aspettano tra 25 e 35 giorni. Nel secondo metà dei pazienti viene visto in una settimana e l'altra metà attende quasi due mesi. La media è la stessa, l'esperienza dei pazienti no.

Tempi di attesa di due ambulatori con la stessa media ma distribuzioni molto diverse

Riassumere senza perdere l'essenziale

Quando i dati sono migliaia, servono pochi numeri che li descrivano. Ne servono sempre almeno due: uno che dica dove si collocano i valori (il "centro") e uno che dica quanto sono sparpagliati attorno a quel centro. Un solo numero è come descrivere una città dicendo la temperatura media dell'anno: 15 gradi possono voler dire un clima mite tutto l'anno oppure estati torride e inverni gelidi.

Indici di posizione

Media aritmetica: la somma dei valori divisa per il loro numero. Usa tutta l'informazione, ma è sensibile ai valori estremi: un solo ricovero di 200 giorni sposta la media di un intero reparto.
Mediana: il valore centrale, che divide i dati in due metà. È robusta ai valori estremi ed è la scelta migliore per distribuzioni asimmetriche come degenze, costi e tempi di attesa.
Moda: il valore più frequente, utile soprattutto per variabili categoriche.
Quantili: quartili e percentili descrivono l'intera distribuzione. "Il 90% dei pazienti viene visto entro X giorni" è spesso più utile di una media.

Indici di dispersione

Deviazione standard: la distanza tipica dei valori dalla media, nella stessa unità di misura dei dati. Da accompagnare alla media.
Scarto interquartile: l'ampiezza del 50% centrale dei dati, cioè la distanza tra il primo e il terzo quartile. Da accompagnare alla mediana.
Campo di variazione: la differenza tra massimo e minimo. Semplice, ma dipende interamente da due valori estremi.
Coefficiente di variazione: deviazione standard divisa per la media. Permette di confrontare la variabilità di grandezze diverse o su scale diverse.

L'errore più comune

Confondere la deviazione standard con l'errore standard. La prima descrive quanto variano i dati tra un paziente e l'altro. Il secondo descrive quanto è precisa la stima della media, e si riduce all'aumentare del campione. Riportare l'errore standard al posto della deviazione standard fa sembrare i dati molto meno variabili di quanto siano.

Un esempio in sanità

Negli indicatori di tempestività, come le attese per una prestazione o la durata della permanenza in pronto soccorso, la media è spesso trascinata verso l'alto da pochi casi estremi. Mediana e percentili, accompagnati dalla quota di casi oltre la soglia di riferimento, descrivono meglio sia la situazione tipica sia i casi critici.

Per chi vuole andare a fondo

Le formule

Posizione

Per $n$ osservazioni $x_1, \dots, x_n$, ordinate come $x_{(1)} \le \dots \le x_{(n)}$:

$$\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \qquad \mathrm{Me} = \begin{cases} x_{((n+1)/2)} & n \text{ dispari} \\[4pt] \tfrac{1}{2}\big(x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)}\big) & n \text{ pari}\end{cases}$$

La media minimizza la somma dei quadrati degli scarti, $\sum (x_i - c)^2$; la mediana minimizza la somma degli scarti assoluti, $\sum |x_i - c|$. Questa differenza spiega la maggiore robustezza della mediana: un valore estremo pesa in modo quadratico sulla prima e solo lineare sulla seconda.

Dispersione

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2, \qquad s = \sqrt{s^2}, \qquad CV = \frac{s}{\bar x}, \qquad \mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1$$

Il denominatore $n - 1$ (correzione di Bessel) rende $s^2$ uno stimatore non distorto della varianza della popolazione: gli scarti sono calcolati da $\bar x$, stimata sugli stessi dati, e questo "consuma" un grado di libertà.

Deviazione standard ed errore standard

L'errore standard della media misura la variabilità di $\bar x$ da un campione all'altro:

$$SE(\bar x) = \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Aumentando il campione $s$ resta circa costante, mentre $SE$ si riduce come $1/\sqrt{n}$: per dimezzarlo servono quattro volte le osservazioni. Da qui l'intervallo di confidenza approssimato al 95% per la media, $\bar x \pm 1{,}96\,SE$.

Quantili

Il quantile di ordine $p$ è il valore sotto il quale cade una frazione $p$ delle osservazioni. Esistono diverse definizioni campionarie, che differiscono per come interpolano tra due osservazioni vicine: R ne implementa nove (argomento type di quantile()), SAS, Stata ed Excel usano spesso quelle di default diverse. Con campioni piccoli i risultati possono differire: in un report è bene dichiarare quale si è usata.

In R

Gli indici in R

set.seed(22)
amb1 <- rnorm(60, 30, 2.8)
amb2 <- c(rnorm(30, 7, 2), rnorm(30, 53, 3))
amb1 <- amb1 - mean(amb1) + 30   # stessa media: 30 giorni
amb2 <- amb2 - mean(amb2) + 30

indici <- function(x) c(media = mean(x), mediana = median(x),
                        dev_std = sd(x), IQR = IQR(x),
                        CV = sd(x) / mean(x),
                        err_std = sd(x) / sqrt(length(x)))
round(rbind(amb1 = indici(amb1), amb2 = indici(amb2)), 2)

quantile(amb2, probs = c(0.10, 0.25, 0.50, 0.75, 0.90))

Come leggere l'output

I due ambulatori hanno media 30 giorni. La deviazione standard però è 2,9 giorni nel primo e 22,9 nel secondo; lo scarto interquartile 4,1 contro 45,5 giorni. Il coefficiente di variazione passa da 0,10 a 0,76.

Nel secondo ambulatorio la mediana (28,7 giorni) non corrisponde all'attesa di nessun paziente reale: cade nel vuoto tra i due gruppi. I percentili raccontano la storia vera: il 25% attende meno di 7 giorni, il 75% ne attende fino a 52,5. Quando la distribuzione ha due picchi, nessun indice singolo basta.

Vedi anche

Distribuzione di frequenza · Indici di simmetria e curtosi · Confronti tra medie

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